Congruencia (teoría de números)

Congruencia (teoría de números)
Para la congruencia vista desde el punto de la geometría elemental, véase congruencia (geometría).

Congruencia es un término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros a\, y b\, tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural m\,, llamado el módulo; esto se expresa utilizando la notación

a \equiv b \pmod m

que se expresa diciendo que a\, es congruente con b\, módulo m\,. Las siguientes expresiones son equivalentes:

  • a\, Es congruente con b\, módulo m\,
a\equiv b\pmod m
  • El resto de a\, entre m\, es el resto de b\, entre m\,
a\; \bmod \; m = b \; \bmod \; m
m\mid a-b
  • a\, se puede escribir como la suma de b\, y un múltiplo de m\,
\exists k\in \mathbb{Z}\quad a=b+km

El término congruencia se utiliza además con dos sentidos ligeramente diferentes: por un lado con el sentido de identidad matemática, como ejemplo de este uso tenemos el pequeño teorema de Fermat que asegura que para cada primo p\, y cada entero a\, no divisible por p\, tenemos la congruencia:

a^{p-1} \equiv 1 \pmod p.

Por otro lado se utiliza en el sentido de ecuación, donde aparecen una o más incógnitas, y nos preguntamos si una congruencia tiene solución y en caso afirmativo cuáles son todas sus soluciones, por ejemplo la congruencia x^2 - 5 \equiv 0 \pmod{11}, tiene solución, y todas sus soluciones vienen dadas por x \equiv 4\pmod{11} y x\equiv 7 \pmod{11}, es decir x\, puede ser cualquier entero de las sucesiones 11k+4\, y 11k+7\,. Contrariamente la congruencia x^2-2 \equiv 0 \pmod{11}, no tiene solución.

La notación y la relación terminología fueron introducidas por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae en 1801. Su utilización se ha extendido a muchos otros entornos en los que podemos hablar de divisibilidad, por ejemplo a polinomios con coeficientes en un cuerpo, a ideales de anillos de números algebraicos, etc.

Propiedades

La relación de congruencia tiene muchas propiedades en común con la igualdad, por citar alguna:

  1. reflexividad: a \equiv a \pmod m
  2. simetría: si a \equiv b \pmod m entonces también b \equiv a \pmod m
  3. transitividad: si a \equiv b \pmod m y b \equiv c \pmod m entonces también a \equiv c \pmod m.
  • Si a\, es coprimo con m\, y a \equiv b \pmod m, entonces b\, también es coprimo con m\,.
  • Si a \equiv b \pmod m y k\, es un entero entonces también se cumple
    • a+k \equiv b+k \pmod m
    • ka \equiv kb \pmod m
    • a^{k} \equiv b^{k} \pmod m\qquad k>0
  • Si además k\, es coprimo con m\,, entonces podemos encontrar un entero h^{-1}\,, tal que
kh^{-1} \equiv 1 \pmod m

y entonces tiene perfecto sentido hablar de la división y también es cierto que

\frac{a}{k} \equiv \frac{b}{k} \pmod m

donde por definición ponemos a/k = ak^{-1}\,.

  • Como consecuencia de lo anterior, si tenemos dos congruencias con igual módulo:
a\equiv b \pmod m y c \equiv d \pmod m

podemos sumarlas, restarlas o multiplicarlas de forma que también se verifican las congruencias

a+c \equiv b + d \pmod m y ac \equiv bd \pmod m

Véase también

Enlaces externos


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Mira otros diccionarios:

  • Congruencia — Saltar a navegación, búsqueda Congruencia es un término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros a y b tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural m, llamado el módulo; esto se expresa utilizando la… …   Wikipedia Español

  • Congruencia — ► sustantivo femenino 1 Relación lógica entre dos acciones o entre elementos de un discurso: ■ no hay congruencia entre el planteamiento y la conclusión. SINÓNIMO coherencia ANTÓNIMO incongruencia 2 DERECHO Relación lógica y de conformidad entre… …   Enciclopedia Universal

  • Congruencia de Mirimanoff — En teoría de números, una congruencia de Mirimanoff es una serie de expresiones en aritmética modular tales que, si se cumplen, conllevan la veracidad del último teorema de Fermat. Ya que el teorema ha sido demostrado, estas expresiones son de… …   Wikipedia Español

  • Teoría de supercuerdas — Representación visual de una variedad de Calabi Yau. Se postula que las dimensiones extras de la teoría de supercuerdas tienen esta forma. La teoría de supercuerdas es un esquema teórico para explicar todas las partículas y fuerzas fundamentales… …   Wikipedia Español

  • Teorema de congruencia lineal — En aritmética modular, la cuestión de cuándo una congruencia lineal puede ser resuelta se describe mediante el teorema de congruencia lineal. Si a y b dos números enteros cualesquiera y n es un número entero positivo, entonces la congruencia (1)… …   Wikipedia Español

  • Aritmética modular — Saltar a navegación, búsqueda Cubierta de la edición original de Disquisitiones arithmeticae de Gauss, libro fundamental de la aritmética modular. En matemática, la aritmética modular es un sistema aritmético para clases de equivalencia((Clase de …   Wikipedia Español

  • Análisis de primalidad AKS — Saltar a navegación, búsqueda El análisis de primalidad AKS o algoritmo AKS es un algoritmo determinista que decide en tiempo polinómico si un número natural es primo o compuesto. Fue diseñado por los científicos de computación Manindra Agrawal,… …   Wikipedia Español

  • Test de primalidad AKS — El test de primalidad AKS o algoritmo AKS es un algoritmo determinista que decide en tiempo polinómico si un número natural es primo o compuesto. Fue diseñado por los científicos de computación Manindra Agrawal, Neeraj Kayal y Nitin Saxena del… …   Wikipedia Español

  • Teorema de Euler — Para el teorema referido a las relaciones numéricas en un poliedro, véase Teorema de poliedros de Euler. Para el teorema referido a las funciones homogéneas, véase Teorema de Euler sobre funciones homogéneas …   Wikipedia Español

  • Disquisitiones arithmeticae — Saltar a navegación, búsqueda Página del título en la primera edición Disquisitiones Arithmeticae es un libro de teoría de números escrito por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss en 1798 cuando tenía 21 a …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”