Congruencia (teoría de números)

Congruencia (teoría de números)
Para la congruencia vista desde el punto de la geometría elemental, véase congruencia (geometría).

Congruencia es un término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros a\, y b\, tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural m\,, llamado el módulo; esto se expresa utilizando la notación

 a \equiv b \pmod m

que se expresa diciendo que a\, es congruente con b\, módulo m\,. Las siguientes expresiones son equivalentes:

  • a\, Es congruente con b\, módulo m\,
a\equiv b\pmod m
  • El resto de a\, entre m\, es el resto de b\, entre m\,
a\; \bmod \; m = b \; \bmod \; m
m\mid a-b
  • a\, se puede escribir como la suma de b\, y un múltiplo de m\,
\exists k\in \mathbb{Z}\quad a=b+km

El término congruencia se utiliza además con dos sentidos ligeramente diferentes: por un lado con el sentido de identidad matemática, como ejemplo de este uso tenemos el pequeño teorema de Fermat que asegura que para cada primo p\, y cada entero a\, no divisible por p\, tenemos la congruencia:

a^{p-1} \equiv 1 \pmod p.

Por otro lado se utiliza en el sentido de ecuación, donde aparecen una o más incógnitas, y nos preguntamos si una congruencia tiene solución y en caso afirmativo cuáles son todas sus soluciones, por ejemplo la congruencia x^2 - 5 \equiv 0 \pmod{11}, tiene solución, y todas sus soluciones vienen dadas por x \equiv 4\pmod{11} y x\equiv 7 \pmod{11}, es decir x\, puede ser cualquier entero de las sucesiones 11k+4\, y 11k+7\,. Contrariamente la congruencia x^2-2 \equiv 0  \pmod{11}, no tiene solución.

La notación y la relación terminología fueron introducidas por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae en 1801. Su utilización se ha extendido a muchos otros entornos en los que podemos hablar de divisibilidad, por ejemplo a polinomios con coeficientes en un cuerpo, a ideales de anillos de números algebraicos, etc.

Propiedades

La relación de congruencia tiene muchas propiedades en común con la igualdad, por citar alguna:

  1. reflexividad:  a \equiv a \pmod m
  2. simetría: si  a \equiv b \pmod m entonces también  b \equiv a \pmod m
  3. transitividad: si  a \equiv b \pmod m y  b \equiv c \pmod m entonces también  a \equiv c \pmod m.
  • Si a\, es coprimo con m\, y  a \equiv b \pmod m, entonces b\, también es coprimo con m\,.
  • Si a \equiv b \pmod m y k\, es un entero entonces también se cumple
    • a+k \equiv b+k \pmod m
    • ka \equiv kb \pmod m
    • a^{k} \equiv b^{k} \pmod m\qquad  k>0
  • Si además k\, es coprimo con m\,, entonces podemos encontrar un entero h^{-1}\,, tal que
kh^{-1} \equiv 1 \pmod m

y entonces tiene perfecto sentido hablar de la división y también es cierto que

\frac{a}{k} \equiv \frac{b}{k} \pmod m

donde por definición ponemos  a/k = ak^{-1}\,.

  • Como consecuencia de lo anterior, si tenemos dos congruencias con igual módulo:
 a\equiv b \pmod m y  c \equiv d \pmod m

podemos sumarlas, restarlas o multiplicarlas de forma que también se verifican las congruencias

 a+c \equiv b + d \pmod m y  ac \equiv bd \pmod m

Véase también

Enlaces externos


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