Alef uno

Alef uno

En matemáticas, se define \aleph_1 (primera letra del alfabeto hebreo llamada alef) como el menor cardinal mayor que \aleph_0, es decir, el menor cardinal mayor que el cardinal del conjunto de los números naturales, \mathbb{N}.

Relación con \aleph_0

El teorema de Cantor afirma que el cardinal de \mathcal{P}(\mathbb{N}) es mayor que \aleph_0, donde \mbox{card}(\mathcal{P}(\mathbb{N}))=\mbox{card}(\mathbb{R}) es el conjunto potencia de los números naturales, que es exactamente el mismo que el cardinal de los números reales. Así pues,

\aleph_0<\mbox{card}(\mathbb{R}),

lo que, considerando que \mbox{card}(\mathbb{R})=2^{\aleph_0}, puede escribirse también así:

\aleph_0<2^{\aleph_0}

En la teoría ZFC, el axioma de elección permite probar que

\aleph_1\leq 2^{\aleph_0},

mientras que la hipótesis del continuo, algo que no puede ser demostrado ni infirmado en ZFC, afirma que

\aleph_1=2^{\aleph_0},

es decir, que el cardinal de los números reales es exactamente \aleph_1.

Más allá de \aleph_1

El teorema de Cantor sobre el conjunto potencia afirma que para cualquier conjunto A se cumple que:

\mbox{card}(A) < \mbox{card}(\mathcal{P}(A))


Lo cual abre la posibilidad a que existan cardinales transfinitos mayores que \aleph_1. La hipótesis del continuo generalizada de hecho permite ordenar los cardinales transfinitos de manera sencilla ya que en esencia afirma que:

\forall n\ge 0:(\mbox{card}(A) = \aleph_n \rightarrow \mbox{card}(\mathcal{P}(A)) = \aleph_{n+1})

Véase también


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