Multiplicación de matrices

En matemática, la multiplicación o producto de matrices es la operación de multiplicación que se efectúa entre dos matrices, o bien entre una matriz y un escalar.

Al igual que la multiplicación aritmética, su definición es instrumental, es decir, viene dada por un algoritmo capaz de resolverla. El algoritmo que resuelve la multiplicación matricial es diferente del que resuelve la multiplicación de dos números. La diferencia principal es que la multiplicación de matrices no cumple con la propiedad de conmutatividad.

Contenido

1 Multiplicación de una matriz por un escalar
- 1.1 Propiedades
2 Multiplicación de una matriz por otra matriz
- 2.1 Propiedades
3 Aplicaciones
- 3.1 Sistemas de ecuaciones
4 Referencias
5 Enlaces externos

Multiplicación de una matriz por un escalar

Dada una matriz A de m filas y n columnas, lo que podemos denotar como:

$A:=(a_{ij})_{m \times n}$

la multiplicación de A por un escalar k, que se denota k·A, k×A o simplemente kA, está definida como:

$kA:=(k\cdot a_{ij})_{m \times n}$

es decir, corresponde a la matriz conformada por cada elemento de la matriz multiplicado por dicho escalar.

Gráficamente, si

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & ... & a_{1n} \\ ... & ... & ... \\ a_{m1} & ... & a_{mn} \end{bmatrix}$

$k\in\mathbb{R},$

entonces

$kA = \begin{bmatrix} ka_{11} & ... & ka_{1n} \\ ... & ... & ... \\ ka_{m1} & ... & ka_{mn} \end{bmatrix}$

La multiplicación por escalar es análoga a la suma o resta de matrices, y cumple con las mismas características de la multiplicación aritmética. En efecto, podemos llegar al mismo resultado sumando k veces la misma matriz A entre sí.

Propiedades

Sean A, B matrices y c, d escalares, la multiplicación de matrices por escalares cumple con las siguientes propiedades:

Propiedad	Descripción
Clausura	cA es también una matriz
Elemento neutro	Existe el elemento neutro uno, de manera que 1·A = A
Propiedad asociativa	(cd)A = c(dA)
Propiedad distributiva - De escalar - De matriz	c(A+B) = cA+cB (c+d)A = cA+dA

Multiplicación de una matriz por otra matriz

Los resultados en las posiciones marcadas dependen de las filas y columnas de sus respectivos colores.

Dadas dos matrices A y B, tales que el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B; es decir:

$A:=(a_{ij})_{m \times n}$ y $B:=(b_{ij})_{n \times p}$

la multiplicación de A por B, que se denota A·B, A×B o simplemente AB, está definida como:

$AB:=(c_{ij})_{m \times p}$

donde cada elemento c_i,j está definido por:

$c_{ij} = \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rj}$

Gráficamente, si

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & ... & a_{1n} \\ ... & ... & ... \\ a_{m1} & ... & a_{mn} \end{bmatrix}$

$B = \begin{bmatrix} b_{11} & ... & b_{1p} \\ ... & ... & ... \\ b_{n1} & ... & b_{np} \end{bmatrix}$

entonces

$AB = \begin{bmatrix} a_{11}b_{11}+...+a_{1n}b_{n1} & ... & a_{11}b_{1p}+...+a_{1n}b_{np} \\ ... & ... & ... \\ a_{m1}b_{11}+...+a_{mn}b_{n1} & ... & a_{m1}b_{1p}+...+a_{mn}b_{np} \end{bmatrix}$

Propiedades

Sean A, B y C matrices para las cuales la multiplicación entre ellas está bien definida, es decir, tales que sus elementos pertenecen a un grupo donde la multiplicación está definida, y de manera que el número de filas y de columnas permite realizar la multiplicación; entonces se cumplen las siguientes propiedades:

Propiedad	Descripción
Clausura	AB es también una matriz
Elemento neutro	Si A es una matriz cuadrada de tamaño m, entonces la matriz identidad I_m×m es elemento neutro, de manera que I·A = A·I = A
Propiedad asociativa	(AB)C = A(BC)
Propiedad distributiva - Por la derecha - Por la izquierda	(A + B)C = AC + BC C(A + B) = CA + CB

El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA. La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matrices invertibles.

Finalmente, note que tanto la multiplicación de una matriz por un escalar, como la multiplicación de dos escalares, puede representarse mediante una multiplicación de dos matrices.

Demostración de la propiedad asociativa

Sean A una matriz de mxn; B una matriz de nxp; y C un matriz de pxq. Entonces, AB sera una matriz de mxp. Del mismo modo, BC sera una matriz de nxq. Por lo tanto, usando sumatoria, verificaremos la propiedad asociativa del producto de matrices, es decir, (AB)C=A(BC). Para AB:

$AB=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}=D=(d_{ij})$

Luego, multiplicando D por C:

$DC=\sum_{l=1}^p d_{il}c_{lj}$

Reemplazando D por AB:

(1) $(AB)C=\sum_{l=1}^p(\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kl})c_{lj}=\sum_{l=1}^p \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kl}c_{lj}$

Ahora, para BC:

$BC=\sum_{l=1}^p b_{il}c_{lj}=E=(e_{ij})$

Luego, multiplicando A por E:

$AE=\sum_{k=1}^n a_{ik}e_{kj}$

Reemplazando E por BC:

(2) $A(BC)=\sum_{k=1}^n a_{ik}(\sum_{l=1}^n b_{kl}c_{lj})=\sum_{k=1}^n \sum_{l=1}^p a_{ik}b_{kl}c_{lj}$

Con lo que verificamos que (1) y (2) son iguales y se cumple la propiedad asociativa:

$(AB)C=A(BC)\,$

Aplicaciones

La multiplicación de matrices es muy útil para la resolución de sistemas de ecuaciones de muchas variables, dado que son muy cómodas para ser implementadas mediante un computador. El cálculo numérico se basa en gran parte de estas operaciones, al igual que poderosas aplicaciones tales como MATLAB. También actualmente se utiliza mucho en el cálculo de microarrays, en el área de bioinformática.

Sistemas de ecuaciones

Consideremos el caso más sencillo, el de las matrices cuadradas de orden 2, es decir cuando n = m = 2. Las aplicaciones lineales del plano real que, al punto M(x₁,x₂) hacen corresponder el punto N(y₁,y₂) se expresan como un sistema de dos ecuaciones con dos variables. Las matrices permiten escribirlos más rápidamente. Así, por ejemplo, el sistema:

$\left \{ \begin{matrix} y_1 = a x_1 + b x_2\\ y_2 = c x_1 + d x_2 \end{matrix} \right.$

se escribe de forma matricial así:

$\begin{pmatrix} y_1\\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix}$

Como se ve, en la notación matricial, las variables soló aparecen una vez, así como el símbolo "=", y los signos "+" ni se escriben. Los ahorros de tiempo y energía no son enormes aquí, pero crecen con las dimensiones de la matriz.

Ahora bien, las aplicaciones lineales se pueden sumar, lo que daría la adición de las matrices que se definió arriba, pero no se pueden multiplicar. Sin embargo, existe otra operación, universal en el campo de las aplicaciones: la composición, es decir aplicar sucesivamente dos o más funciones a un objeto. Al componer:

$\left \{ \begin{matrix} z_1 = e y_1 + f y_2\\ z_2 = g y_1 + h y_2 \end{matrix} \right. \mbox{ con } \left \{ \begin{matrix} y_1 = a x_1 + b x_2\\ y_2 = c x_1 + d x_2 \end{matrix} \right.$

obtenemos:

$\left \{ \begin{matrix} z_1 = e(a x_1 + b x_2) + f(c x_1 + d x_2) = (ea + fc)x_1 + (eb + fd)x_2\\ z_2 = g(a x_1 + b x_2) + h(c x_1 + d x_2) = (ga + hc)x_1 + (gb + hd)x_2 \end{matrix} \right.$

lo que corresponde a la matriz:

$\begin{pmatrix} ea + fc & eb + fd\\ ga + hc & gb + hd \end{pmatrix}$

Por lo tanto se define el producto de matrices así:

$\begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ea + fc & eb + fd\\ ga + hc & gb + hd \end{pmatrix}$

Referencias

El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal, publicada en español bajo la licencia Creative Commons Compartir-Igual 3.0.

Enlaces externos

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