Distribución binomial negativa

Distribución binomial negativa: Distribución binomial negativa

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Binomial negativa
Función de probabilidad

La línea roja representa la media, y la verde tiene una longitud de aproximadamente 2σ.

Función de distribución de probabilidad

Parámetros $r > 0\!$ (real)
$0<p<1\!$ (real)

Dominio $k \in \{0,1,2,\ldots\}\!$

Función de probabilidad (fp) $\frac{\Gamma(r+k)}{k!\,\Gamma(r)}\,p^r\,(1-p)^k \!$

Función de distribución (cdf) $I p (r, k + 1) donde I p (x, y)$ es la función beta incompleta regularizada

Media $r\,\frac{1-p}{p}$

Mediana

Moda $\lfloor(r-1)\,(1-p)/p\rfloor\text{ if }r>1$
$0\text{ if }r\leq 1$

Varianza $r\,\frac{1-p}{p^2}$

Coeficiente de simetría $\frac{2-p}{\sqrt{r\,(1-p)}}\!$

Curtosis $\frac{6}{r} + \frac{p^2}{r\,(1-p)}\!$

Entropía

Función generadora de momentos (mgf) $\left(\frac{p}{1-(1-p) e^t}\right)^r \!$

Función característica $\left(\frac{p}{1-(1-p) e^{i\,t}}\right)^r \!$

En estadística la distribución binomial negativa es una distribución de probabilidad discreta que incluye a la distribución de Pascal.

El número de experimentos de Bernoulli de parámetro $θ$ independientes realizados hasta la consecución del k-ésimo éxito es una variable aleatoria que tiene una distribución binomial negativa con parámetros k y $θ$ .

La distribución geométrica es el caso concreto de la binomial negativa cuando k = 1.

Propiedades

Su función de probabilidad es

$\! \ b^*(x;k,\theta) = {x-1 \choose k-1}\theta^k(1-\theta)^{x-k}$

para enteros x mayores o iguales que k, donde

$\!{x-1 \choose k-1} = \frac{(x-1)!}{(k-1)!x!}$ .

Su media es

$\!\mu = \frac{{k(1 - \theta )}}{\theta}$

si se piensa en el número de fracasos únicamente y

$\!\mu = \frac{{k}}{\theta}$

si se cuentan también los k-1 éxitos.

Su varianza es

$\!\sigma ^2 = \frac{{k(1 - \theta )}}{{\theta ^2 }}$

en ambos casos.

Ejemplos

Si la probabilidad de que un niño expuesto a una enfermedad contagiosa la contraiga es 0,40, ¿cuál es la probabilidad de que el décimo niño expuesto a la enfermedad sea el tercero en contraerla? En este caso, X es el número de niños expuestos la enfermedad y

$\!x = 10, k = 3, \theta = 0,\!40$

La solución es:

$\!b^*(10;3,0,\!4)={10-1 \choose 3-1}0,\!4^3(1-0,\!4)^{10-3}={9 \choose 2}0,\!4^3(0,\,6)^{7}=0,\!0645$

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Categoría: Distribuciones discretas

Binomial negativa
Función de probabilidad La línea roja representa la media, y la verde tiene una longitud de aproximadamente 2σ.
Función de distribución de probabilidad
Parámetros	$r > 0\!$ (real) $0<p<1\!$ (real)
Dominio	$k \in \{0,1,2,\ldots\}\!$
Función de probabilidad (fp)	$\frac{\Gamma(r+k)}{k!\,\Gamma(r)}\,p^r\,(1-p)^k \!$
Función de distribución (cdf)	$I p (r, k + 1) donde I p (x, y)$ es la función beta incompleta regularizada
Media	$r\,\frac{1-p}{p}$
Mediana
Moda	$\lfloor(r-1)\,(1-p)/p\rfloor\text{ if }r>1$ $0\text{ if }r\leq 1$
Varianza	$r\,\frac{1-p}{p^2}$
Coeficiente de simetría	$\frac{2-p}{\sqrt{r\,(1-p)}}\!$
Curtosis	$\frac{6}{r} + \frac{p^2}{r\,(1-p)}\!$
Entropía
Función generadora de momentos (mgf)	$\left(\frac{p}{1-(1-p) e^t}\right)^r \!$
Función característica	$\left(\frac{p}{1-(1-p) e^{i\,t}}\right)^r \!$

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