Sistema numérico

En álgebra y en aritmética, un sistema numérico es un conjunto provisto de dos operaciones que verifican ciertas condiciones.

Definición

Un conjunto es un sistema numérico si en él están definidas dos operaciones binarias asociativas y conmutativas, denominadas adición y multiplicación, y si además se cumple que la multiplicación es distributiva con respecto a la adición. Para a, b y c elementos cualesquiera de :

• Propiedad conmutativa de la adición: a + b = b + a
• Propiedad conmutativa de la multiplicación: a • b = b • a
• Propiedad asociativa de la adición: (a + b) + c = a + (b + c)
• Propiedad asociativa de la multiplicación: (a • b) • c = a • (b • c)
• Propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición: a • (b + c) = a • b + a • c

La adición y la multiplicación no necesariamente deben ser las de la aritmética elemental.

Ejemplos notables

En esta sección se presentan algunos ejemplos de casos que salen de lo que indican, en primera instancia, la intuición o el sentido común. La aparición de "rarezas" hace que deba intervenir especialmente la razón por sobre la apariencia inmediata que dan los sentidos (percepción). Esto se conoce en filosofía como "buen sentido" y en matemáticas: "aplicar las definiciones al pie de la letra" o con rigor lógico. La visión de estos casos enseña más que los ejemplos sencillos.

Los conjuntos forman un álgebra booleana

En la Teoría de conjuntos se definen la unión de conjuntos y la intersección de conjuntos. Podemos hacer corresponder la operación de unión con la de adición y la intersección con multiplicación y viceversa (como veremos más adelante).

Con esta convención, los conjuntos forman un sistema numérico:

El choque con la intuición

Es una práctica didáctica que los maestros utilicen objetos como manzanas o naranjas y la noción de conjunto para enseñar a sumar. Esta práctica podrá ser útil a la hora de enseñar, pero descansa en ideas no demasiado meditadas. Para las consideraciones que siguen utilizaremos la convención de asimilar la suma a la unión de conjuntos y el producto a la intersección, como en el título anterior.

*La unión de conjuntos es asimilable a la suma ordinaria solamente si los conjuntos son disjuntos:

En una primera aproximación tenemos que dos conjuntos que tengan tres y cuatro elementos, respectivamente, y que no contengan elementos comunes, darán por unión un conjunto de siete elementos, conforme a la intención del docente para lo que desea lograr en el alumno. Pero si esos conjuntos tuvieran dos elementos comunes la unión daría por resultado un conjunto de cinco elementos.

Se ve afectado el papel del elemento identidad para la adición o elemento nulo de la suma.

Podríamos asimilar al conjunto vacío como el elemento identidad para la suma, ya que: ; pero también , y si , obtenemos , por lo que tenemos el mismo resultado, con lo que cada conjunto y todos los conjuntos incluidos en él lo dejan idéntico con respecto a la unión. Pero el conjunto vacío es el único que lo hace con todos los conjuntos.

• La intersección es más chocante en cuanto a su paralelismo con el producto.

La intersección de dos conjuntos disjuntos distintos del conjunto vacío darán por resultado el conjunto vacío. Esto equivale a decir que en el sistema numérico que forman los conjuntos hay divisores de cero. La intersección de conjuntos con elementos comunes dejará un conjunto con menos elementos que el menor de ellos. A lo sumo igual al menor de ellos, si está incluido dentro del conjunto mayor.

• La unidad o elemento identidad para la multiplicación.

Si adoptamos el uso intuitivo o hasta la formulación formal de los conjuntos, el sistema carecerá de unidad, puesto que no habrá ningún conjunto cuya intersección con otro cualquiera deje a ese idéntico. En el caso que se definiera un conjunto universal, referencial o de referencia, éste sería la unidad. Al estar cualquier conjunto definido a partir de él, la intersección de cualquier conjunto con el de referencia daría por resultado el conjunto menor. Pero esta unidad es un poco diferente de la idea intuitiva que se tiene a partir de la aritmética.

• Una segunda propiedad distributiva.

En los conjuntos la unión es distributiva con respecto a la intersección: . Para los números que manejamos en la aritmética esto sería cierto solamente para: a + (b.c) = a.b + a.c si y sólo si a = b = c = 0

Conclusión

La segunda propiedad distributiva que cumplen los conjuntos permitiría que invirtiéramos la elección de las denominaciones para las operaciones de unión e intersección y el sistema seguiría siendo numérico. Deberíamos estudiar si las diferencias con respecto a los números familiares que fueron señaladas no cambian en este caso. Los números naturales, enteros, racionales, reales y complejos que conocemos forman sistemas numéricos. Para que los elementos de un conjunto sean considerados pertenecientes a un sistema numérico las operaciones definidas deben cumplir pocas propiedades. Esta amplitud hace que aparezcan ejemplos como éste, tan lleno de sorpresas. En álgebra se debe aplicar las definiciones al pie de la letra y si algo las cumple, es.

Los restos de módulo 2

Los restos de módulo 2, con las operaciones de suma y multiplicación de restos, forman un sistema numérico. La congruencia de Gauss es una relación de equivalencia. El cociente del conjunto por una relación de equivalencia lo divide en clases disjuntas. En el caso de las congruencias de módulo 2 lo que se hace es dividir a los enteros en números pares e impares. Las operaciones de suma y multiplicación definidas permiten responder de qué paridad es el resultado de una suma o multiplicación de números pares o impares, en cualquier combinación que se utilice. Los símbolos "0" y "1" representan a los restos posibles de la división entera por 2: 0 para los números pares y 1 para los impares. La expresión 1 + 1 = 0 es equivalente a: impar + impar = par.

Con las tablas es fácil comprobar que las operaciones son conmutativas, asociativas y que el producto es distributivo con respecto a la suma. Tenemos, entonces, un sistema numérico de dos símbolos. Para una comprensión más profunda, ver aritmética modular.

Otros ejemplos

Sistemas numéricos con estructura de anillo

• Los números enteros son uno de los ejemplos más sencillos de anillos.
• Los números enteros módulo n (donde , con p un número entero primo).
• Los enteros gaussianos

Sistemas numéricos con estructura de cuerpo

• Los números racionales (), mínimo cuerpo que contiene al anillo ().
• Los números algebraicos (), mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a
• Los números reales (), mínimo cuerpo completo que contiene a
• Los números complejos (), mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a
• Los números enteros módulo p (con p primo, () o aritmética modular de módulo p.
• Los números hiperreales ()son una extensión de los números reales ().
• Los números superreales son una generalización de los números hiperreales.
• Los números surreales son el cuerpo más grande posible que contiene a los reales y siguien siendo un cuerpo ordenado.

Sistemas numéricos con estructura de álgebra

• Los números cuaterniónicos
• Los números octoniónicos
• Los números sedeniónicos

Todos estos conjuntos son ejemplos de números hipercomplejos.

Referencias

Bibliografía

• Adler, Irving (1970). La Nueva Matemática. Buenos Aires: Editorial Universitaria de Buenos Aires, Colección Ciencia Joven, 288 páginas, en rústica. Traducción del inglés: Jorge Jáuregui. Original: The New Mathematics, The John Day Company, New York. 
• Taylor,Howard E.; Wade, Thomas L. (1966)Matemáticas Básicas con vectores y matrices, Limusa-Wiley, México D.F.