Transformación lineal de intervalos

Transformación lineal de intervalos
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La transformación lineal de intervalos es una aplicación lineal típica con usos variados como proyección de intervalos o planos. Por ejemplo, la transformación que lleva de un formato de video DVD con resolución de 720x570 pixeles a uno VCD con resolución de 352×240.

Contenido

Definición

Transformación lineal del intervalo [e1,e2] al intervalo [s1,s2]

Sean:

E= [e_1,e_2] \; y
S= [s_1,s_2] \;

dos intervalos en \mathbb{R}. La transformación lineal:

T(x): [e_1,e_2] \rarr [s_1,s_2]; \; \forall x \in \mathbb{R}

esta dada por:

s_1 = m e_1 + b \; ---- eq(1)
s_2 = m e_2 + b \; ---- eq(2)

donde m y b son los parámetros de la transformación lineal

T(x)= mx+b ; \quad \forall x \in \mathbb{R} .

Resolviendo para eq(1) y eq(2):

b =s_1 - m e_1 ; b =s_2 - m e_2 \;
s_1 - m e_1 = s_2 - m e_2 \;
s_1 - s_2 = m( e_1 - e_2) \;
m=\frac{(s_1 - s_2)}{(e_1 - e_2)}
Función lineal de transformación

sustituyendo m\quad en eq(1):

s_1 = \frac{(s_1 - s_2)}{(e_1 - e_2)} e_1 + b \quad\Rightarrow b = s_1-\frac{(s_1 - s_2)}{(e_1 - e_2)} e_1

es decir:

T(x)= \frac{(s_1 - s_2)}{(e_1 - e_2)}x + \Bigg[ s_1-\frac{(s_1 - s_2)}{(e_1 - e_2)} e_1 \Bigg]

simplificando:

T(x)= \frac{(s_1 - s_2)}{(e_1 - e_2)}\; (x - e_1) + s_1

Ejemplo

Como ejemplo de esta transformación, supongamos que un programador de codecs desea transformar de un formato e video DVD a uno VCD, su problema consiste, entre otras cosas, en proyectar el intervalo horizontal [1,720] a otro intervalos horizontal [1,352]; para ello usa la transformación lineal Th(x) descrita arriba, de la siguiente manera:

e_1=1 \;
e_2=720 \;
s_1=1 \;
s_2=352\ ;

Sustituyendo en la expresión:

T(x)= \frac{(s_1 - s_2)}{(e_1 - e_2)}\; (x - e_1) + s_1

Obtendremos:

T_{h}(x)= \frac{(1 - 352)}{(1 - 720)}\; (x - 1) + 1

Simplificando las fracciones tendremos:

T_{h}(x)= \frac{351\; x + 368}{719}

Con lo que para cada x del intervalo [1,720] obtendremos un T(x) correspondiente del intervalo [1,352].

De igual manera para la transformación vertical Tv(x)

e_1 = 1 \;
e_2 = 570 \;
s_1 = 240 \;
s_2 = 1 \;

Partiendo de la relación:

T(x)= \frac{(s_1 - s_2)}{(e_1 - e_2)}\; (x - e_1) + s_1

y sustituyendo cada termino, tendremos:

T_{v}(x)= \frac{(240 - 1)}{(1 - 570)}\; (x - 1) + 240

Operando la expresión, tendremos:

T_{v}(x)= \frac{-239\; x + 136799}{569}

En este caso para x= 1, tendremos que T(x)= 240.

Véase también

Enlaces externos


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