Silogismo

Silogismo

El silogismo es una forma de razonamiento deductivo que consta de dos proposiciones como premisas y otra como conclusión, siendo la última una inferencia necesariamente deductiva de las otras dos. Fue formulado por primera vez por Aristóteles, en su obra lógica recopilada como El Organon, de sus libros conocidos como Primeros Analíticos, (en griego Proto Analytika, en latín –idioma en el que se reconoció la obra en Europa Occidental-, Analytica Priora).

Aristóteles consideraba la lógica como lógica de relación de términos. Los términos se unen o separan en los juicios. Los juicios aristotélicos son considerados desde el punto de vista de unión o separación de dos términos, un Sujeto y un predicado. Hoy se hablaría de proposición.

La diferencia entre juicio y proposición es importante. La proposición afirma un hecho como un todo, que es o no es, como contenido lógico del conocimiento. El juicio, en cambio, atribuye un predicado a un sujeto lógico del conocimiento otorgando a los términos al mismo tiempo una función lingüística de significado (semántica) y una función formal lógica (sintáctica). Esto tiene su importancia en el concepto mismo del contenido de uno, el juicio, y la otra, la proposición, especialmente en los casos de negación, como se ve en la problemática de la lógica silogística.

Mantenemos aquí la denominación de juicio por ser lo más acorde con lo tradicional, teniendo en cuenta que este tipo de lógica, como tal, está en claro desuso, sustituida por la lógica simbólica en la que esta lógica es interpretada como lógica de clases. Ver cálculo lógico.

La relación entre los términos de un juicio, al ser comparado con un tercero que hace de "término medio", hace posible la aparición de las posibles conclusiones. Así pues, el silogismo consta de dos juicios, premisa mayor y premisa menor, en los que se comparan tres términos, de cuya comparación se obtiene un nuevo juicio como conclusión.

La lógica trata de establecer las leyes que garantizan que, de la verdad de los juicios comparados (premisas), se pueda obtener con garantía de verdad un nuevo juicio verdadero (conclusión).

Aristóteles. Museo del Louvre

Contenido

Juicio de términos

El juicio de términos es la comparación de dos conceptos, bien sea de forma lógica o extraída de la experiencia, mediante la cual creemos o afirmamos la relación de uno con respecto al otro como verdad objetiva.

Así se justificaba la creencia verdadera en los juicios aristotélicos de la lógica clásica.

Por ejemplo: en la nieve es blanca, la mente se afirma en que la blancura es una propiedad que se puede predicar con verdad de la nieve.[1] Tal ha sido la consideración de los juicios aristotélicos en el silogismo de la lógica tradicional.

Hoy día la lógica formal y simbólica no acepta tales juicios que se interpretan como creencia pues no requiere su formulación lingüística o conceptual, como ya consideraron los escolásticos y por otro lado la posibilidad de un categórico, como pensaba Aristóteles, está seriamente cuestionada.

Hoy en lógica tal relación se considera formalmente:

Los juicios aristotélicos: Definición y elementos del silogismo

El juicio aristotélico considera la relación entre dos términos: un Sujeto, S, y un predicado, P.

Los términos pueden ser tomados en su extensión universal: abarca a todos los posibles individuos, el dominio de discurso, a los cuales pueda referirse el concepto.[2] [3]

O en su extensión particular: cuando sólo se refiere a algunos.[4]

Los juicios por la extensión en la que es tomado el término sujeto, como criterio de cantidad, pueden ser:

UNIVERSALES: Todo S es P[5]

PARTICULARES: Algunos S son P[6]

Nota: Los nombres propios tienen extensión universal; pues el uno, como único, equivale a un individuo que siendo único es, por eso, todos los posibles.[7]

La relación entre los términos puede ser asimismo:

AFIRMATIVOS: De unión: S es P.

NEGATIVOS: De separación: S es no-P.[8]

Nota: El predicado de una afirmación siempre tiene extensión particular, y el predicado de una negación está tomado en su extensión universal. Cuando un concepto, sujeto o predicado, está tomado en toda su extensión se dice que está distribuido; cuando no, se dice que está no distribuido.[9]

Según el criterio de cantidad y cualidad, resulta la siguiente clasificación de los juicios:

CLASE DENOMINACIÓN ESQUEMA EXPRESIÓN-EJEMPLO Extensión de los términos
A Universal Afirmativo Todo S es P Todos los hombres son mortales S: Universal P: Particular
E Universal Negativo Todos los S son no-P[10] Ningún hombre es mortal S: Universal P: Universal
I Particular afirmativo Algún S es P Algún hombre es mortal S: Particular P: Particular
O Particular Negativo Algún S es no-P[11] Algún hombre no es mortal[12] S: Particular P: Universal

Los juicios se relacionan unos con otros en lo que constituye un argumento.

El silogismo argumenta estableciendo la conclusión como una relación entre dos términos, establecida como resultado de la comparación de ambos términos con un tercero (tertium comparationis). Por eso se define:

Silogismo es la argumentación en la que a partir de un antecedente, (dos juicios como premisas), que compara dos términos, (Sujeto y Predicado de la conclusión), con un tercero, (término Medio), se infiere o deduce un consecuente, (un juicio como conclusión), que une, (afirma), o separa, (niega), la relación de estos términos, (Sujeto y Predicado), entre sí.


ANTECEDENTE = Dos premisas:

Premisa mayor, en la que se encuentra el término mayor, que es el predicado de la conclusión, que se representa como P.

Premisa menor, en la que se encuentra el término menor, que es el sujeto de la conclusión, que se representa como S.

Entre ambas se realiza la comparación del término sujeto y el término predicado con respecto al término Medio, que se representa como M.


CONSECUENTE = Una conclusión:

En la que se establece la relación entre el término Sujeto S, y el término Predicado P.

TÉRMINOS:

Término mayor: Es el predicado de la conclusión. La premisa en la que se encuentra se llama Premisa mayor. Se representa como P.

Término menor: Es el sujeto de la conclusión. La premisa en la que se encuentra se llama Premisa menor. Se representa como S.

Término medio: Que sirve de comparación (tertium comparationis) y no puede estar en la conclusión. Se representa como M.

Figuras y modos silogísticos

Teniendo en cuenta la disposición de los términos en las premisas y en la conclusión se pueden dar las siguientes FIGURAS SILOGÍSTICAS, que se denominan:

1ª FIGURA 2ª FIGURA 3ª FIGURA 4ª FIGURA
M P P M M P P M Premisa mayor
S M S M M S M S Premisa menor
S P S P S P S P Conclusión

Los modos son las distintas combinaciones que se pueden hacer con los juicios que entran a formar parte de las premisas y la conclusión. Como estos juicios tienen cuatro tipos distintos (A,E,I,O), y en cada caso se toman de tres en tres —dos premisas y una conclusión— hay 64 combinaciones posibles.

Estas 64 combinaciones posibles quedan reducidas a 19 modos válidos, al aplicar las reglas del silogismo.

Reglas del silogismo

Reglas para los términos

  • El silogismo no puede tener más de tres términos.

Esta ley se limita a cumplir la estructura misma del silogismo: La comparación de dos términos con un tercero. Aunque la regla es clara, su aplicación no siempre lo es. Es lo que algunos llaman silogismo de cuatro patas. Ver quaternio terminorum.

Consideremos el siguiente silogismo:

Todos los caballos tienen huesos

Rocinante es un caballo

Por tanto, Rocinante tiene huesos

En la primera premisa estamos hablando de caballos como animales de verdad, y en la segunda estamos hablando de un caballo imaginario. Este silogismo es de todo punto inválido, aunque siga una forma aparentemente válida.

  • Los términos no deben tener mayor extensión en la conclusión que en las premisas.

Por la misma estructura del silogismo; únicamente podremos obtener conclusiones acerca de lo que hemos comparado en las premisas.

  • El término medio no puede entrar en la conclusión.

Por la misma estructura del silogismo la función del término medio es servir de intermediario, como término de la comparación.

  • El término medio ha de tomarse en su extensión universal por lo menos en una de las premisas.

Para que la comparación sea tal, es necesario que el término medio sea comparado en su totalidad. De otra forma, podría ser comparado un término con una parte y el otro con la otra, constituyéndose en realidad entonces un silogismo de cuatro términos.

Todos los andaluces son españoles.

Algunos españoles son gallegos.

Por tanto, algunos gallegos son andaluces

Lo que evidentemente no es un modo válido, puesto que "españoles" en la premisa mayor al ser predicado de una afirmativa está tomado en su extensión particular.

Reglas de las premisas

  • De 2 premisas negativas no puede obtenerse conclusión alguna.

Dos premisas negativas no se adaptan a la estructura del silogismo, ya que si negamos S de M, y P de M, no sabemos qué relación puede haber entre S y P. Para establecer la relación, por lo menos uno de los términos tiene que identificarse con M. Por tanto una de las dos premisas tiene que ser afirmativa.

  • De dos premisas afirmativas no puede sacarse una conclusión negativa.

En efecto, si S se identifica con M, y P también se identifica con M, no tiene sentido establecer una relación negativa con entre S y P. La conclusión será afirmativa.

  • La conclusión siempre sigue la peor parte. Entendiendo por peor parte, la negativa respecto a la afirmativa y lo particular respecto a lo universal.

Veamos los dos casos separadamente:

a) Conclusión negativa de una premisa afirmativa y la otra negativa.

Si se afirma una relación entre dos términos (X, M), pero se niega la de uno de ellos con otro (Y, M), siendo M el término medio, no puede haber más conclusión que negar la relación que pueda haber entre el primero (X) y el último (Y) siendo uno sujeto y el otro predicado de la conclusión.

b) Conclusión particular de una premisa universal y otra particular (teniendo en cuenta que dos premisas particulares no puede ser, como veremos en la regla siguiente).

Pueden darse dos casos: Que una sea afirmativa y la otra negativa, o que las dos sean afirmativas.

1º) Dos afirmativas. (Tenemos que recordar que el Predicado de una afirmativa está tomado en su extensión particular, y el Predicado de una negativa en su extensión universal).

Al ser las dos afirmativas sus predicados son particulares. El término de la Universal tiene necesariamente que ser el Término Medio, la conclusión tiene que tener un sujeto particular.

2º) Una afirmativa y otra negativa: Tiene que haber dos términos universales. Uno de ellos tiene que ser el término medio, el otro tiene que ser el predicado de la conclusión, pues la conclusión tendrá que ser negativa, (caso a) de esta misma regla). Por tanto el término que queda será el sujeto de la conclusión con extensión particular.

  • De dos premisas particulares no se saca conclusión.

También tiene dos casos posibles: que una sea afirmativa y la otra negativa o que las dos sean afirmativas.

a) Afirmativa y negativa: Algún A es B - Algún A no es C.

Sólo hay un término universal que es el predicado de la negativa, que por tanto tiene que ser el Término Medio. La conclusión tendrá que ser negativa (caso a) de la regla anterior), y por tanto el predicado tendrá que ser universal, y no puede ser el Término Medio por tanto no puede haber conclusión.

b) Dos afirmativas: Algún A es B - Algún A es C.

Los tres términos son particulares, y por tanto no puede haber Término medio con extensión universal, y por tanto no hay conclusión posible.

Los modos válidos

Modo del silogismo es la forma que toma éste de acuerdo con la cantidad y la cualidad de las premisas y la conclusión. De la aplicación de las leyes de los silogismos a los 64 modos posibles resultan válidos solamente 19 y son los que tradicionalmente se memorizan atendiendo a los modos válidos de cada figura con sus premisas y conclusión.

Así los modos válidos Se memorizaban cantando
De la primera figura AAA, EAE, AII, EIO BARBARA, CELARENT, DARII, FERIO
De la segunda figura EAE, AEE, EIO, AOO CESARE, CAMESTRES, FESTINO, BAROCO
De la tercera figura AAI, IAI, AII, EAO, OAO, EIO DARAPTI, DISAMIS, DATISI, FELAPTON, BOCARDO, FERISON
De la cuarta figura AAI, AEE, IAI, EAO, EIO BAMALIP, CAMENES, DIMATIS, FESAPO, FRESISON

Nota bene: También son válidos para la primera figura los modos subalternos BARBARI, CELARONT; para la segunda: CESARO, CAMESTROP; y para la cuarta: CAMENOP.[13]

Resolución de los modos mediante un algoritmo mecánico: Las cartas silogísticas

cartas silogísticas

Consiste en un juego de dieciséis cartas. Ocho mayores y ocho menores. En cada carta mayor figura en primera línea una posible premisa mayor y debajo posibles conclusiones. La primera línea de las cartas menores llevan una posible premisa menor, y en sus partes medias unas aberturas.

Colocando una carta menor sobre una mayor como si fuera una combinación de premisas, aparece en la abertura correspondiente una conclusión si es modo válido, o ninguna si no lo es (carta 8 menor).

Representación gráfica de los modos como lógica de clases mediante diagramas de Venn

Convención para la representación gráfica del Juicio tipo A

Se pueden representar estos modos mediante diagramas de Venn con las siguientes convenciones:

  • Cada término del silogismo está representado por S, P, M, por un círculo incoloro que representa a todos los miembros posibles de una clase.
  • La conclusión aparece como resultado de la relación de los términos S y P en su relación con M.
  • La inexistencia se muestra como zona rellena de color.
  • La existencia individual se afirma mediante una X: Al menos uno, o algunos.
  • La relación de los términos se constituye como pertenencia o no pertenencia a la clase.
  • La relación de inclusión, Todo S es P, se representa como “No hay ningún S que no sea P” según muestra la imagen que se muestra al margen.
Representación gráfica de los modos válidos en diagramas de venn

Teniendo en cuenta la problemática de la lógica aristotélica, de la que se habla más adelante, el problema del "compromiso existencial" afecta a los modos Darapti, Felapton, Bramalip, y Fesapo que no se muestran en las gráficas, al no ser admitidos como válidos por algunos y, sobre todo, la representación gráfica no hace plausible la conclusión, debido a la falta de "compromiso existencial", como se comenta más adelante.

La problemática de la lógica silogística

La exposición anterior es la forma más simple y esquemática tradicionalmente presentada como lógica Aristotélica.[14]

Sin embargo la problemática que trata Aristóteles es bastante más compleja. Aristóteles define:

Silogismo es un argumento en el cual, establecidas ciertas cosas, resulta necesariamente de ellas, por ser lo que son, otra cosa diferente
Aristóteles An. Pr. I 24 b 18-23

Dos aspectos a destacar en su definición:

  • La necesidad, que considera el silogismo como categórico, por considerar que los juicios que lo integran son asimismo categóricos.
  • El fundamento de dicha necesidad, por "ser las cosas lo que son".

Hablar del silogismo categórico supone hablar de lo necesario e incondicionado. Y precisamente incondicionado por estar basado en el “ser de las cosas”.

Aristóteles está pensando en un predicado aprehendido a partir de la experiencia y atribuido por el entendimiento a un sujeto. En el lenguaje apofántico[15] el silogismo manifiesta la verdad, porque el entendimiento humano (entendimiento agente, según Aristóteles) es capaz de llegar a la intuición directa de lo real[16] aunque sea a través de un proceso de abstracción.[17]

Se parte del supuesto de que P es predicado “verdadero” de S (en el sentido de que P manifiesta la "identidad" del ser de S), lo que plantea una cuestión metalógica. Véase verdad.

Aristóteles piensa que el juicio manifiesta “lo que es” como verdadero. El problema entonces es ¿y cómo se predica de un sujeto lo que “no-es”?[18] (V.:aporética).

La lógica aristotélica se encuentra con el problema de los juicios negativos que resuelve no del todo bien.

De hecho en el cuadro de oposición de los juicios Aristóteles estudió con todo detalle problemas que posteriormente no se han tenido en cuenta; en realidad consideró tres figuras y no todos los 19 modos válidos.[19] Aristóteles considera modos perfectos aquellos cuya validez aparece como evidente, siendo los demás imperfectos por cuanto deben ser probados por medio de los modos perfectos, que son los correspondientes a la primera figura: BÁRBARA, CELARENT, DARII, FERIO.[20]

Incluso llegó a considerar tales modos como los axiomas de todo el sistema lógico.

El juicio como “atribución” de un predicado verdadero a un sujeto, (en el sentido de que P manifiesta la "identidad" como "ser del sujeto",[21] en tanto que realidad conocida), plantea el problema de un predicado falso, es decir un no-predicado. ¿Cómo conocemos un no-predicado?...

Lingüísticamente el problema se disfraza negando el verbo en lugar del predicado como atributo (gramática). De esta forma en vez de decir "Antonio es un no-caballo", (¿qué es un no-caballo?),[22] decimos "Antonio no es un caballo". Pero esto segundo sólo es inteligible bajo el punto de vista extensional de los conceptos,[23] es decir bajo el punto de vista de ser un elemento de un conjunto definido por una propiedad, o lo que es lo mismo por su pertenencia o no-pertenencia a una determinada clase; lo que nos lleva a la lógica de clases.

La lógica moderna simbólica, meramente lógica formal, no tiene conexión con contenido de verdad alguno y supera con claridad estas dificultades; sobre todo con la ventaja de poder tratar proposiciones poliádicas, llamadas así porque tienen más de dos términos (por ejemplo: "Júpiter es mayor que la Tierra y menor que el Sol"),[24] y facilitar enormemente el cálculo lógico, por lo que, de hecho, la lógica aristotélica, como tal, está en claro desuso.[25]

Hans Reichenbach estudia el cuadro de oposición de los juicios considerando los juicios A, E, I, O, como relación de clases y considera que pueden eliminarse los juicios negativos E, O, que son los problemáticos, mediante la anotación de la negación de la clase complementaria.[26]

La notación se hace estableciendo entre el Sujeto S y el Predicado P, la letra minúscula correspondiente al tipo de juicio. Así tenemos que:

SeP \leftrightarrow Sa \bar{P}

SoP \leftrightarrow Si \bar{P}


Así no sólo se simplifica la notación sino que de modos que tradicionalmente han sido considerados inválidos, se puede obtener conclusión válida, que la notación clásica hacía imposible.[27]

Por todo ello la interpretación actual de la lógica aristotélica como silogismo es su interpretación como lógica de clases. Tal es el mérito de la obra de Lukasiewicz.

Pero considerar los conceptos universales, como clases plantea el problema de la existencia del individuo como instanciación o compromiso existencial. Pues la clase como propiedad independiente puede considerarse como abstracto universal.[28] Pero los predicados, como atributos, no tienen sentido sin un sujeto gramatical del cual se prediquen porque posea dicha propiedad.[29]

La lógica tradicional no consideraba el problema de la existencia o no existencia del individuo respecto a los conceptos universales, pues se supone que éstos han surgido de la abstracción a partir del conocimiento de los singulares o individuos existentes.[30]

El silogismo considerado en la lógica formal

La lógica formal actual considera la relación S y P como una relación meramente sintáctica sin contenido material alguno, bien sea en una relación de clases o una función proposicional de predicados. Aristóteles considera dicha formalidad, desde luego, bajo el punto de vista de la relación entre dos términos S (sujeto) y P (predicado) que al mismo tiempo tienen una función lingüístico-gramatical, pues para Aristóteles los términos representan aspectos del ser y por tanto de la realidad.

Pero la formalidad de la lógica actual convierte la deducción en una inferencia, como consecuencia lógica, en lugar de una implicación con transmisión de contenido en un lenguaje apofántico transmisor de la verdad como pretendía Aristóteles para el lenguaje de la ciencia.

En la nueva forma de relación sintáctica se pierde toda relación de los términos con la gramática del lenguaje y posible "significación". El silogismo pierde así su formalidad de ser categórico, transmisor de la verdad necesaria, "por ser las cosas como son", para adquirir una formalidad hipotética.

Siendo S el sujeto, P el Predicado y M el término medio, el silogismo es ahora interpretado como lógica de clases, y su esquema lógico sería del tipo siguiente:

Si la clase S está (o no está) contenida en la clase M, y la clase M está (o no está) contenida en la clase P, entonces la clase S está o (no está) contenida en la clase P.

O, en su interpretación con respecto a los individuos, cuando haya conocimiento de instanciación existencial:[31]

Si todos (o algunos) los individuos que pertenecen (o no pertenecen) a la clase S pertenecen (o no pertenecen) a la clase M, y todos (o algunos) los individuos que pertenecen (o no pertenecen) a la clase M pertenecen (o no pertenecen) a la clase P, entonces todos (o algunos) los individuos que pertenecen (o no pertenecen) a la clase S pertenecen (o no pertenecen) la clase P.

Así el silogismo en Bárbara se convierte formalmente en lógica de clases como:

\big[(S \subset M) \wedge (M \subset P) \rightarrow (S \subset P)\big]

Que expresa una fórmula de relación hipotética y al no haber afirmación de verdad alguna en las premisas, la conclusión es condicionada y no implicada.

De la misma forma el silogismo puede interpretarse como una función proposicional de un predicado P que se predica de uno, alguno o todos los individuos x, que a su vez pueden ser o no ser sujeto de otro predicado S como resultado de la relación que ambos tienen o no tienen con otro predicado M, siendo S, P y M los términos del silogismo..

Mx simboliza "Ser mortal", siendo M=ser mortal que se puede predicar respecto a una variable x cuyo compromiso de existencia vendría dado por la cuantificación existencial de la referencia de dicha función, bien sea un cuantificador universal, todo x: \land x; un cuantificador particular, un o algún x: \lor x; o una constante individual determinada: a, b, c…

La lógica de predicados resuelve así el problema de la instanciación existencial, pero nuevamente convierte el silogismo en un esquema formal de inferencia, donde no hay afirmación sino una inferencia hipotética, a partir del hecho de que la proposición puede ser verdadera o falsa y no una afirmación categórica.

Así el silogismo por antonomasia en AAA, de la primera figura se interpretaría de la siguiente manera siendo S, M y P sus términos:

\big[\bigwedge x \big(Mx \rightarrow Px\big)\wedge \bigwedge x \big(Sx \rightarrow Mx \big)\big]\rightarrow \bigwedge x\big(Sx \rightarrow Px \big)


Es decir un silogismo hipotético de la lógica de predicados.

En ambos casos, como relación de clases o como lógica de predicados, el clásico silogismo categórico:

Todos los hombres son mortales. Todos los griegos son hombres. Por tanto todos los griegos son mortales.

Se convierte en un silogismo hipotético:

Si todos los hombres son mortales y todos los griegos son hombres, entonces, todos los griegos son mortales.

Lo que, no cabe duda, es una transformación no menor de la lógica aristotélica.

Véase también

Notas y referencias

  1. ↑ Véase verdad y la reflexión sobre tal afirmación de Alfred Tarski
  2. ↑ Que no necesariamente tiene una referencia en una palabra; puede ser una frase o un discurso tomado como una unidad lógica
  3. ↑ Se dice de un término tomado en su extensión universal que está distribuido. Nótese que el dominio del concepto es mucho más amplio que la mera referencia a "todos los que existen". Quiere decir que el término universal, distribuido, abarca todos los posibles individuos que hayan podido existir, hayan existido y los que existen y existirán. El verbo ser es meramente atributivo y no exige la existencia. La filosofía tradicional consideraba que el término tenía su origen en la abstracción a partir de la existencia de individuos, por lo que no hacía referencia a esta distinción que exige la lógica formal tal como se entiende en la actualidad.
  4. ↑ En esta referencia es necesario que se incluya la existencia de individuos bien sea pasada, presente o futura, de existencia real o conceptual; de otro modo no habría significación en la atribución. El verbo ser referido a la extensión particular es de existencia. Lo que no pocas veces conduce a errores lógicos cuando no se tiene en cuenta el diferente uso del verbo ser respecto a la extensión de los términos, sobre todo en los juicios negativos.
  5. ↑ La forma lingüística que expresa el juicio admite variaciones: Todos los S, Cualquier S.... Lo importante es que cualquier cosa que sea S, entonces es P. Nótese que en la lógica aristotélica el uso del verbo ser tiene un contenido categórico de realidad. Más tarde la lógica de Port Royal hará de esta relación una atribución. La lógica de clases, por su parte, únicamente señala una relación meramente lógica entre clases. El individuo como se explica más adelante, es un término, considerado en su extensión universal, como clase lógica o término distribuido.
  6. ↑ Las formas lingüísticas también pueden ser variadas: Algún S siempre que sea indeterminado, unos cuantos S etc.
  7. ↑ De lo único, como unidad elemental, no podemos más que o "designarlo" con el dedo, como hace el niño pequeño cuando no sabe hablar, o "nombrarlo" con un "nombre propio" o "clasificarlo" mediante un "nombre común" o "concepto universal", es decir incluirlo como elemento "perteneciente a una clase" que designa una "propiedad". Por eso los "nombres propios" son una "Clase Universal". Este problema lo resuelve mejor la lógica actual considerando los elementos comunes como "variables" o "elementos de un conjunto" y los individuos existentes como "constantes" o "instanciación de existencia". Las propiedades son consideradas como "clases" como posibilidad de la existencia de individuos
  8. ↑ Esta expresión es lógicamente la correcta. Sin embargo este matiz se oculta bajo la forma expresiva de S no es P que suena mejor pero oculta este matiz y puede inducir errores lógicos; S es no-P manifiesta claramente la separación de S respecto a P como predicado de S. En cambiio la expresión S no es P expresa la no pertenencia de S a la clase P. Véase más adelante la problemática de la lógica aristotélica respecto a los juicios negativos y su interpretación como lógica de clases.
  9. ↑ En la afirmativa el Sujeto se afirma como una parte de lo afirmado como predicado. No podemos saber si el predicado es más amplio. En cambio cuando negamos el sujeto es separado de Toda la extensión posible del predicado no-P. Todos los (o algunos) andaluces son españoles (Referencia: algunos españoles; Todos los (o algunos) andaluces son no-franceses (Referencia: Todos los franceses)
  10. ↑ Lingüísticamente suele usarse la forma: Ningún S es P
  11. ↑ Suele expresarse esto como Algún S no es P porque suena mejor y en la lógica formal de predicados se considera equivalente a S es no-P; pero no es así para Aristóteles, (Analíticos Primeros I, 46 (52b15), y se presta a alguna confusión como se ve en la problemática de la lógica aristotélica
  12. ↑ Nótese cómo esta expresión lingüística oscurece la afirmación de "no-mortal" como verdadera, pues ésta supone la existencia de seres inmortales que la expresión lingüística no ofrece; en la lógica tradicional aristotélica se da por supuesto la existencia de seres no-mortales, (astros, dioses, ángeles, demonios, etc.) pues se predica como atributo de S. Actualmente el concepto de inmortalidad (como clase que puede ser vacía, es decir sin elemento alguno que pertenezca a dicha clase) no implica necesariamente la existencia de individuos inmortales. La clase no se considera un atributo (gramática) de un sujeto lógico o sustantivo; la lógica formal considera la clase como una propiedad que establece una relación de pertenencia o no pertenencia de individuos a la clase definida por dicha propiedad; relación que puede ser definida de muchos modos y no necesariamente de atribución a un sujeto. Cfr.cálculo lógico
  13. ↑ Cfr. Łukasiewicz. La silogística de Aristóteles desde el punto de vista de la lógica formal moderna. Madrid: Tecnos (1977). pág. 81 y ss. Véase más adelante: Problemática de la lógica aristotélica
  14. ↑ Que es la considerada como lógica tradicional que no sigue exactamente los postulados del propio Aristóteles, como veremos más adelante
  15. ↑ Aristóteles considera que es el lenguaje propio de la ciencia; a diferencia del lenguaje retórico que genera silogismos retóricos o argumentos probables aunque formalmente sean válidos
  16. ↑ Es decir a lo que "de verdad es"; la esencia frente a la apariencia sensible que manifiesta lo que es al mismo tiempo que lo oculta
  17. ↑ Si bien en los juicios derivados de la experiencia los sujetos lógicos únicamente pueden ser las sustancias primeras individuales, en la abstracción de sus predicados, como categorías y modos de predicación predicables, tales predicados como conceptos pueden hacer de sujetos lógicos en oraciones gramaticales que expresan juicios categóricos mediante los cuales se ponen de manifiesto sus contenidos como propiedades y sus relaciones con otros conceptos manteniendo su relación con lo real puesto que su origen deriva de lo real existente. Las categorías lógicas tienen por ello carácter de realidad
  18. ↑ Para los griegos clásicos y también para Aristóteles el concepto de clase, o simplemente el conjunto vacío era algo inconcebible. La problemática parmenidiana sobre el ser estaba en el fundamento lógico de todo su pensamiento. Por eso en matemáticas no pudieron concebir el 0 (cero) como concepto. Véase supra nota 5
  19. ↑ Aristóteles consideró la posibilidad de poder afirmar "Antonio es un no-caballo" como implicación consecuente de la afirmación previa existencial en la experiencia de "Antonio no es un caballo" (CORREIA, Manuel. La Actualidad de la Lógica de Aristóteles. Rev. filos., Santiago, 2010 2010. Disponible en. <http://www.scielo.cl/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0718-43602006000100009&lng=es&nrm=iso>. accedido en doi 16: noviembre 10.4067/S0718- 43602006000100009.). Esto es así porque el conocimiento del concepto de caballo en su relación con Antonio es únicamente de "ser" o "no-ser". En cambio "Antonio es bueno" no es oponible de la misma forma a "Antonio es no-bueno" puesto que la bondad admite gradaciones y situaciones que no responden a la condición de "ser" o "no-ser", como ya había expuesto Platón en su diálogo Fedro. Antonio puede ser hoy bueno y mañana malo; así como puede ser regular, mezcla en parte de lo bueno y en parte de lo malo; la oposición entre uno y otro no es totalmente excluyente. Si es "malo" entonces es "no-bueno", como verdad implicada. Pero ser "no-bueno" no implica "ser malo". [Analíticos Primeros I, 46 (52b15)]. La forma lógica aristotélica implica en algunos casos, como el presente, la consideración de la materia o contenido del juicio de que se trate. Por ello mientras que para la lógica simbólica actual "Antonio es un no-caballo" y "Antonio no es un caballo" son formalmente equivalentes, y se simbolizan de la misma forma, \bigwedge x (Ax \rightarrow \lnot Cx) siendo A=Antonio y C=Caballo, para Arístóteles no lo son como hemos visto antes. Lo que indica que la lógica de Aristóteles siendo formal, al pretender ser transmisora de la verdad, nunca pierde su relación con la materia o contenido en su consideración lógica, pues siempre se trata de una predicación respecto a un sujeto que, en última instancia, tiene una referencia verdadera, bien en la experiencia concreta como conocimiento de una sustancia primera, bien en la evidencia de un axioma, bien en la realidad de un concepto universal abstraído a partir de una sustancia existente individual. Por eso el concepto aristotélico, como término del juicio, no es una clase, y siempre tiene una referencia existencial. Algunos piensan que la lógica de Aristóteles siendo formal no es formalista. Manuel Correia. Revista de filosofía. Rev. filos. v.62 Santiago 2006. Étienne Gilson (1944). Eco (1977), Kant y el ornitorrinco. Cap. 1 "Sobre el ser"
  20. ↑ Para hacer tales demostraciones se establecen ciertas operaciones lógicas que permiten transformar unos juicios en otros. Véase conversión lógica, obversión lógica, contraposición lógica e inversión lógica. Es famosa la demostración ¡demostración formal!!! de la "inmortalidad" por este procedimiento según el siguiente esquema: 1. Todo S es P; 2. Nigún S es no-P (por obversión en 1); 3. Ningún no-P es S (por conversión en 2); 4. Todo no-P es no-S obversión en 3); 5. Algún no S es no-P (por conversión per accidens en 4. De esta forma "Todos los hombres son mortales" implicaría que "Algún no-hombre es no-mortal" lo que sería una prueba o demostración la "inmortalidad". Pero ... ¿qué es un "no-mortal" si no tenemos "experiencia" como instanciación existencial de ello?. ¿A qué referente como no-hombre podremos aplicar dicha propiedad de "inmortalidad"? ¿a los ángeles? ¿a los demonios?. David Mitchell, Introducción a la lógica. p. 38-39
  21. ↑ Los griegos no concibieron el no-ser como posibilidad de un concepto. Por eso no concibieron el cero matemático a diferencia de la reflexión de la cultura india
  22. ↑ Eso sólo tiene sentido en tanto que lo que se afirma es el conocimiento previo de la existencia de los contenidos (notas) del predicado en la identidad (notas) que constituye al sujeto. Por su parte el predicado es conocido a través de conocimientos singulares de otros sujetos conocidos por la experiencia
  23. ↑ Los conceptos se definen por su comprensión, es decir las notas que le hacen ser lo que es, el significado en su expresión lingüística, y su extensión, o denotación en su expresión lingüística, es decir cada uno de los seres a los que dicho concepto se puede aplicar, nombrándolos o designándolos. El concepto aristotélico, que procede de la abstracción a partir del conocimiento de los individuos particulares, tiene siempre y necesariamente aplicación a un grupo de individuos. Por eso, más tarde en la Edad Media, se considerarán como universales. En cambio la clase se define exclusivamente por una propiedad, haya o no haya individuos que posean dicha propiedad. Por eso existe el concepto de clase vacía. Para los griegos, que no conocían ni concebían la posibilidad del cero, el concepto de clase habría sido imposible.
  24. ↑ Miguel Candel Sanmartín Metafísica de cercanías, p. 55, Editorial Montesinos, 2004 ISBN 978-84-95776-85-3
  25. ↑ Luis Guerrero Martínez Lógica: el razonamiento deductivo formal, p. 165, Publicaciones Cruz O.S.A., 1991 ISBN 978-968-20-0272-4
  26. ↑ Véase cuadro de oposición de los juicios
  27. ↑ Donde se puede apreciar, una vez más, la importancia de la formalización del lenguaje en el progreso de la ciencia.
  28. ↑ Que da lugar a una Lógica de segundo orden
  29. ↑ Quine, W.V. Filosofía de la lógica. Madrid. Alianza Editorial. 1981.págs. 58-61. Cfr. ref, 4 y 5
  30. ↑
    Al construir su lógica, Aristóteles no tiene en cuenta ni a los términos singulares ni a los términos vacíos. En los primeros capítulos de los Primeros Analíticos, que contiene una expresión sistemática de su silogística, sólo son mencionados términos universales.
  31. ↑ Lo que excede de la mera información formal del concepto de clase. A veces se confunde erróneamente el uso de un concepto como clase lógica, es decir un Todo-lógico, distribuido (en su extensión lógica universal), o no-distribuido (en su extensión lógica particular), como si fuera un conjunto de individuos existentes. Tal puede ocurrir cuando se utilizan lingüísticamente pronombres vagos (Santo Tomás) o pronombres perezosos (Quine) como: algún o algunos, cualquiera o todo o todos (considerando tales pronombres como sustitución de uno por uno y cualquiera de todos los posibles elementos del conjunto como si fueran individuos reales y existentes). Se confunde de este modo la clase lógica con la clase natural como si fuera aquella un conjunto enumerable. Una clase lógica significa toda la extensión lógica o el dominio de discurso de un concepto expresado como término lingüístico que significa posibles individuos de cuya existencia no sabemos nada. La existencia se reconoce en un sistema de referencia de lenguaje objeto o primer nivel como lógica de primer orden. Las propiedades lógicas sitúan su referencia en una lógica de segundo orden.

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