En el interior de un cuadrado hay un círculo central. Cuatro círculos todos con radio diferente, tocan a este círculo central y a los lados del cuadrado. ¿Qué relación hay entre los radios de los cuatro círculos y la longitud del lado del cuadrado? (Problema Sangaku de la Prefectura de Gunma, 1874)

Sangaku o San Gaku (算額, lit. Tablilla Matemática^?) son tablillas de origen japonés con problemas matemáticos principalmente geométricos, creadas durante el período Edo (1603-1867).

Un Sangaku es una tablilla de madera con figuras geométricas, ubicadas en los templos y santuarios como ofrendas votivas a los dioses o como desafíos a los congregados y visitantes, escritos en kanbun, una forma antigua de japonés. Un sangaku tiene de 1 a 10 problemas, y cada problema esta formado de la siguiente manera: arriba o a la derecha de la tablilla se ubican las figuras geométricas; abajo o a la izquierda se encuentran la pregunta y soluciones (resolución, respuesta, o ambas si las hay); y por ultimo el creador del sangaku, el profesor, la escuela y la fecha de su colgado.

Historia

Templo japones en Kioto.

Los Sangaku pueden provenir con mayor certeza, de la costumbre nipona de colgar tablillas en los templos, propiciada por el sintoísmo, la cual tiene un panteón de dioses de considerable número, llamados kami. Y dado que a los kami les encantan los caballos vivos, los fieles que no podían ofrendar un caballo, podían ofrecer un remado en madera. Es por esto que muchas tablillas que datan del siglo XV o antes, contienen representaciones de caballos.^{[1] [2]}

Durante el periodo Edo, Japón fue aislado totalmente del resto del mundo así que las tablillas fueron creadas usando las matemáticas japonesas (wasan), no influenciadas por el pensamiento matemático occidental (yosan).

Muchas de estas tablillas se perdieron durante el período de modernización que siguió al período Edo, de las 2625 tablillas que se supone existieron, 884 se conservan.^[3] La tablilla Sangaku más antigua que se conoce proviene de la prefectura de Tochigi y se remonta a 1683. Otra, de la prefectura de Kioto es del año 1686. Aunque el diario del matemático japones Kazu Yamagushi (1781-1850) se alude a una tablilla del año 1668, perdida en la actualidad.^[1]

Fujita Kagen (1765-1821), matemático japonés, publicó la primera colección de problemas Sangaku, en sus obras Shinpeki Sanpō (Problemas matemáticos suspendidos ante el Templo) en 1789, y una segunda parte en 1806, Zoku Shinpeki Sanpō. Una colección de Sangaku fue publicada en 1989 por Hidetoshi Fukagawa y Daniel Pedoe, la primera en inglés, en el libro: Japanese Temple Geometry Problems.

Aspectos matemáticos

El teorema de Pitágoras es la herramienta más utilizada en la resolución de los problemas sangaku (Chou Pei Suan Ching, 500-200 a. C.).

Sobre los temas en que se enfocan los Sangaku, esta principalmente la geometría euclidiana y específicamente sobre círculos, elipses, esferas, figuras dentro de otras figuras, como también el calculo de volumen de diversos solidos, requiriendo de calculo integral. Sobre temas no geométricos se encuentran las ecuaciones diofánticas con problemas algebraicos y numéricos.^[4]

Gran parte de los problemas entrarían en la categoría de matemática recreativa, pero algunos usan versiones japonesas de algunos teoremas como el teorema de los círculos de Descartes, mientras otros se adelantan a famosos resultados occidentales como el teorema de Malfatti, el teorema de Casey o el sexteto de Soddy.^[5]

Algunos de los problemas son sencillos y solo se requiere de conocimientos de secundaria como el teorema de Pitágoras, mientras otros requieren de matemáticas superiores para ser abordados.

Problemas sangaku

Problema sangaku con un triángulo isósceles y dos círculos

Un círculo que contiene a dos círculos, un triángulo isósceles y una perpendicular

En otro problema de la Prefectura de Gunma de 1803, la base del triángulo isósceles descansa sobre el diámetro de la circunferencia mayor. El centro de la circunferencia azul se encuentra en el diámetro de la circunferencia verde y la circunferencia es tangente interior a la circunferencia verde. La circunferencia roja es tangente exterior del triángulo y de la circunferencia verde, e interior de la circunferencia verde. Hay que demostrar que el segmento que conecta el centro de la circunferencia roja con el punto de intersección del triángulo y la circunferencia azul es perpendicular con el diámetro de la circunferencia verde.

En la solución dada en el sangaku, el autor traza un segundo segmento rectilíneo distinto del segmento enunciado que pasa por el centro del círculo rojo y que es perpendicular al diámetro del círculo verde, de modo que los dos segmentos deberían interceptar al diámetro en puntos distintos. Luego, se demuestra que la distancia entre estas dos distancias tiene que ser necesariamente cero lo que supone que estos segmentos son idénticos, demostrando la perpendicularidad.

Problema Sangaku de la prefectura de Gumma del año 1824.

Tres circunferencias tangentes entre si y a una recta

Este problema de la Prefectura de Gunma del año 1824, trata sobre tres circunferencias tangentes entre si y a una misma recta. Se pide determinar el radio de la circunferencia más pequeña en términos de las dos circunferencias restantes. La solución a este problema es:

donde r₁, r₂, r₃ son respectivamente el radio de la circunferencia rojo, verde y azul. Este problema es un caso especial del teorema de los círculos de Descartes cuando la cuarta circunferencia tiene curvatura cero. Puede resolverse aplicando el teorema de Pitágoras.

La suma de los radios de los círculos verdes es igual a la suma de los radios de los círculos azules.

Primer Teorema de Mikami-Kobayashi

También llamado teorema japonés, este teorema nos dice que al triangular un polígono convexo inscrito en un círculo, trazando todas las diagonales desde uno de los vértices, la suma de los radios de los círculos inscritos en los triángulos es una constante (invariante) que es independiente del vértice elegido para hacer la triangulación.

La idea básica de la prueba es utilizar el teorema de Carnot en cada triángulo inscrito en el polígono.

Segundo teorema de Mikami y Kobayashi

Segundo teorema de Mikami-Kobayashi

También llamado teorema japonés, este teorema nos dice que al unir los incentros de los triángulos formados al trazar las diagonales de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia se forma un rectángulo.

La idea básica de la demostración es probar que los ángulos del cuadrilátero formado por los incentros son rectos y por lo tanto es un rectángulo.

Collar de esferas

Este problema de la prefectura de Kanagawa de 1822 colgado en el santuario de Kōzagun por Yazawa Hiroatsu, se anticipa en más de cien años al trabajo de Frederick Soddy. Dos esferas tangentes A y B entre si están inscritas en una gran esfera C. El problema es determinar el número de esferas que forman el collar, o sea, esferas de distintos tamaños tangentes a sus dos vecinos más cercanos y a las tres esferas dadas, además se pide encontrar los radios de las esferas que forman el collar en función de los radios de A, B y C.

La solución viene dada por el teorema del sexteto de Soddy (1937) que nos dice que habrá sólo 6 esferas. La solución usando wasan del manuscrito Sanpō Tenzan Tebikigusa (1841) de Ōmura Kazuhide (1824–1891), aplica la versión japonesa del teorema de los círculos de Descartes como idea básica y la extiende al mundo de las esferas.

Sangakus algebraicos

Entre los sangakus aritméticos y algebraicos destacamos:

• El problema de la tablilla de Ufa Chusaburō de 1743: Se tienen 50 pollos y conejos. Si el número de patas es 122, ¿Cuántos pollos y conejos hay?. (sol.: 11 conejos y 39 pollos)
• De la tablilla del templo Shōganji, prefectura de Nagano: Se divide un capital de 60 en forma igualitaria para repartir a varios hombres como préstamo a interés compuesto por más de 3 años, después del cual el capital de vuelta con interés añadido será 105.12. La diferencia de la tasa de interés anual entre cada deudor es de 10% y la suma de la tasa de interés anual es de 60%. Encontrar el número de hombres a los cuales se les ha dado el préstamo. (sol.: 3 hombres).
• Del santuario Hioki-jinja: Se tienen dos cubos, A el más grande y B. La suma de los volúmenes de A y B es 2240 sun (80499 cm³) y la diferencia entre los lados de A y B es 4 sun (13.2 cm). Encontrar la longitud del lado de B. (sol.: 8 sun)

Algunas soluciones

Tres circunferencias tangentes entre si y a una recta

Sea , segmentos que conectan los centros de las circunferencias. Luego , de forma análoga para los segmentos y . Como , tenemos que: dividiendo por a ambos lados de la ecuación se llega a la solución.

Primer Teorema de Mikami-Kobayashi

Referencias

Libros

• Fukagawa, Hidetoshi ; Pedoe, Daniel (1989) Japanese Temple Geometry Problems: Sangaku. Charles Babbage Research Centre. ISBN 0-919611-21-4.
• Fukagawa, Hidetoshi ; Rothman, Tonny (2008) Sacred Mathematics: Japanese Temple Geometry. Princeton University Press, Princeton. ISBN 0-691-12745-X.
• Huvent, Géry (2008) Sangaku. Le mystère des énigmes géométriques japonaises, Dunod. ISBN 2-10-052030-X

Enlaces externos

Commons

• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Sangaku.

Problemas sangaku

• Garcia Capitán, F. J. (2003) Problemas sangaku
• Miranda, Ubaldo(2003). Gacetilla Matemática: Apuntes y notas sobre problemas sangakus
• Parra, C.(2005) TÍPICOS PROBLEMAS SANGAKUS.
• Martin, M.(2008) Sangakus.
• Gutierrez, Antonio(2007). Geometry step-by-step:Sangaku Japanese Geometrical problem: The incenters of four triangles in a cyclic quadrilateral - Antonio Gutierrez. Una demostración interactiva sobre un problema Sangaku.

Otros sitios

• Aprendiendo Geometría a través de Sangaku
• Delerue, Nicolas. Sangaku (Japanese votive tablets featuring mathematical puzzles)
• Wasan.jp. ようこそ算額のホームページへ Catalogo de Sangaku, según prefectura de origen.
• Bogomolny, Alexander. Cut-the-knot: Sangaku: Reflections on the Phenomenon.
• Huvent, Géry http://pagesperso-orange.fr/gery.huvent/html/sangaku.htm